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MATEMÁTICAS Prof. Daniel Galatro
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Reducir no es lo mismo que Simplificar |
POTENCIAS Y RAÍCES |
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Reducir: Es sumar o restar entre sí los términos semejantes en un polinomio para dejar solamente uno de ellos. Simplificar: Es eliminar factores en fracciones dividiendo por un mismo divisor común un factor del dividendo por un factor del divisor. |
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Expresiones algebraicas (conceptos) |
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Nomio o término: expresión algebraica en la que no figuran sumas ni restas. |
3 a3 b2 c -3 x2 y3 |
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Monomio: expresión algebraica constituida por un solo término. En un monomio, las letras solamente están afectadas por operaciones de producto y de potencia de exponente natural. |
3 a3 b2 c 3 se denomina "coeficiente" a3 b2 c se denomina "parte literal" |
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Monomios semejantes: Son los que tienen igual parte literal (las mismas letras elevadas a los mismos exponentes). |
3 a3 b2 c es semejante a 5 a3 b2 c |
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| Binomio: suma o resta de 2 monomios. |
3 a3 b2 c - 3 x2 y3 |
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| Trinomio: suma o resta de 3 monomios. |
3 a3 b2 c - 3 x2 y3 + 4 a x5 |
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| Polinomio: suma o resta de monomios. |
3ax3 + 2bx2 - 5x + 8 |
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| Grado de un monomio: suma de los exponentes de su parte literal. |
3 a3 b2 c es un monomio de 6º grado (3+2+1) |
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| Grado de un polinomio: grado del término de mayor grado. |
3 a3 b2 c - 3 x2 y3 + 4a x5 (6º grado) (5º grado) (6º grado) Es un polinomio de 6º grado |
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| Polinomio homogéneo: todos sus términos son del mismo grado. |
3x2b3 + 3ax4 + 3 b3cz Todos los términos son de 5º grado |
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| Polinomio ordenado: un polinomio está ordenado con respecto a las potencias crecientes de una de sus letras cuando ésta figura en cada término con un exponente mayor o igual que en el anterior. |
+3 - 2ab5 + 3a2b - 5a7 Polinomio ordenado con respecto a las potencias crecientes de su letra "a" |
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| Polinomio ordenado: un polinomio está ordenado con respecto a las potencias decrecientes de una de sus letras cuando ésta figura en cada término con un exponente menor o igual que en el anterior. |
4ab3 - b2 - 4 Polinomio ordenado con respecto a las potencias decrecientes de su letra "b" |
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| Polinomio completo: un polinomio es completo cuando figuran en él todas las potencias de la letra respecto de la cual está ordenado, a partir de la potencia de mayor grado. |
ab3 - 5b2 - 4bz + 7 Polinomio completo con respecto a su letra "b" (En este caso, además está ordenado) |
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| Valor numérico de una expresión algebraica: Es el que resulta de reemplazar cada letra por un valor particular asignado y efectuar luego las operaciones indicadas. |
El valor numérico de a3 b2 c si a=2, b=1 y c=3 será: 23 x 12 x 3 = 8 x 1 x 3 = 24 |
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| Expresión algebraica entera: ninguna letra está en el denominador ni afectada por una raíz o por un exponente negativo. |
3 a3 b2 c - 3 x2 y3 es entera porque no hay letras en el denominador (la fracción sólo afecta al coeficiente numérico) |
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| Expresión algebraica fraccionaria: (fracción algebraica) es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas enteras dadas en un cierto orden. |
7 a2x5 --------------------- 4 y3 + 3 x3
es fraccionaria por hay letras en el denominador
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Cuadrado de un binomio |
Cubo de un binomio |
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(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 |
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Factoreo de expresiones algebraicas |
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Consiste en transformar una sucesión de sumas y restas ("suma algebraica") en un producto. Es transformar términos en factores, para luego poder simplificarlos. Existen seis casos típicos:
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| "Houston, tenemos un
problema"
Hemos llegado al punto en que se hace imprescindible utilizar el signo de radicación. Estamos buscando el método más sencillo para hacerlo, pero aún estamos en la búsqueda. Si Ud. conoce una buena solución para nuestro problema, háganosla saber a dgalatrog@hotmail.com o a virtualoyd@hotmail.com y podremos regresar felizmente a Tierra como Tom Hanks.
Ampliación sobre "mínimo común múltiplo" y "máximo común divisor".
Los números naturales
Los números llamados "naturales" son los que utilizamos para contar: 1, 2, 3, 4, 5,... y así hasta el llamado "infinito" (sin final), es decir, un número tan grande como queramos. Si lo deseamos, podemos incluir el 0 (cero), un símbolo que indica que allí "no hay nada", como decimos, aunque deberíamos ser más exactos y decir "hay nada".
Múltiplos y divisores de los números naturales
Los números naturales tienen múltiplos y divisores.
Múltiplos de un número natural son los números naturales que resultan de multiplicar ese número por otro número natural.
21 es múltiplo de 3 porque resulta de multiplicar 3 x 7. Y también 21 es múltiplo de 7 porque resulta de multiplicar 7 x 3.
Un número natural tiene infinitos múltiplos, siempre mayores que él: su doble, su triplo, su cuádruplo, etc.
Divisores (antes llamados también "submúltiplos") de un número natural son los números naturales que resultan de dividir ese número por otro. Solamente son válidos aquellos en los que el resto de la división sea cero (división entera).
3 es divisor de 21 porque 21 dividido 3 da 7 y no hay resto. 7 es divisor de 21 porque 21 dividido 7 da 3 y no hay resto.
Un número natural tiene por lo menos dos divisores. Siempre puede dividirse por sí mismo y por 1.
7 es divisible por 7 porque 7 dividido 7 da 1 y no hay resto. 7 es divisible por 1 porque 7 dividido 1 da 7 y no hay resto.
Pero la mayoría de los números naturales tienen más de dos divisores.
30 es divisible por 30, por 15, por 10, por 6, por 5, por 3, por 2 y por 1, porque siempre el resultado es otro número natural y en todas esas divisiones el resto es cero.
Números primos y números compuestos
Los números como el 7 que solamente son divisibles exactamente por 1 y por sí mismos se llaman "PRIMOS".
Los números como el 30, que son divisibles exactamente por 1 y por sí mismos pero son además divisibles por otros números, se llaman "COMPUESTOS".
Los números primos que nos van a interesar más son generalmente los primeros: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Existen infinitos números primos.
Descomposición de un número en sus factores primos
Descomponer un número en sus factores primos es encontrar los números primos más pequeños que multiplicados entre sí (factores) dan como resultado aquél número.
40 es igual a 2 x 2 x 2 x 5. 25 es igual a 5 x 5. 100 es igual a 2 x 2 x 5 x 5 26 es igual a 2 x 13 etc.
¿Para qué podemos necesitar descomponer un número en sus factores primos?
En general, cuando tenemos dos o más números naturales y deseamos encontrar un número que sea múltiplo de todos ellos o que sea divisor de todos ellos, vamos a hallar, en ambos casos, casi siempre más de un número posible.
Entonces nos resultará más conveniente hallar, entre los infinitos múltiplos comunes a todos ellos, el menor. Y entre los posibles divisores comunes a todos ellos, el mayor. Las operaciones resultarán luego mucho más sencillas porque tendremos números más fáciles de manejar.
Técnica para hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) (o múltiplo común máximo)
Supongamos que buscamos los múltiplos comunes a 12, 8 y 6. Vamos a escribir sus múltiplos encima de ellos.
Los números 12, 8 y 6 tendrán infinitos múltiplos comunes a los tres. Por ejemplo, aquí hemos encontrado tres de ellos: 24, 48 y 72. Y, en consecuencia, 24 es el menor de esos múltiplos comunes (el primero que aparece en las tres columnas al ir subiendo, al mismo tiempo, por las tres).
Se dice entonces que 24 el el mínimo común múltiplo de 12, 8 y 6.
Pero sería muy pesado buscar el mínimo común múltiplo de este modo. Nos llevaría demasiado tiempo y esfuerzo.
Hay un camino más sencillo.
Descomponemos los tres números dados en sus factores primos:
12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3 8 = 2 x 2 x 2 = 23 6 = 2 x 3
y luego tomamos los factores comunes (que estén en todos) y no comunes (que no estén en todos) con su mayor exponente, y los multiplicamos entre sí:
23 x 3 = 24
Fue mucho más sencillo, ¿verdad?
Por lo tanto, para hallar el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO entre dos o más números naturales, debemos descomponer primero cada uno de ellos en sus factores primos y luego multiplicar entre sí los factores hallados, comunes y no comunes, con su mayor exponente.
Técnica para hallar el divisor común máximo (d.c.m.) o máximo común divisor (m.c.d.)
Supongamos que buscamos los divisores comunes de 12, 8 y 6. Vamos a escribir sus divisores debajo de ellos.
Los números 12, 8 y 6 tendrán solamente un divisor común a los tres: el número 2. En el caso de otros números podrían ser algunos más. Y, en consecuencia, 2 es el mayor de esos divisores comunes (el primero que aparece en las tres columnas al ir bajando, al mismo tiempo, por las tres).
Se dice entonces que 2 el el divisor común máximo de 12, 8 y 6.
Pero sería muy pesado buscar el divisor común máximo de este modo. Como en el caso del m.c.m. nos llevaría demasiado tiempo y esfuerzo.
Y aquí también hay un camino más sencillo.
Descomponemos los tres números dados en sus factores primos:
12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3 8 = 2 x 2 x 2 = 23 6 = 2 x 3
y luego tomamos solamente los factores comunes (que estén en todos) con su menor exponente, y los multiplicamos entre sí:
2 = 2
Fue mucho más sencillo, ¿verdad?
Por lo tanto, para hallar el DIVISOR COMÚN MÁXIMO entre dos o más números naturales, debemos descomponer primero cada uno de ellos en sus factores primos y luego multiplicar entre sí los factores comunes hallados, con su menor exponente.
¿Quedó claro, Alicia?
Prof. Daniel A. Galatro
Olimpíada Matemática Argentina en La Cumbre, Córdoba. a través de uno de los participantes
Otros trabajos del Prof. Daniel Galatro:
Tabla ayuda para construir configuraciones electrónicas de átomos: confelec Conceptos básicos, fórmulas y constantes de Química: quimica Conceptos básicos, fórmulas y constantes de Física: física El Universo, la Energía y la Masa: ebook
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VOLUMEN I
URUGUAY: Estamos organizando las actividades en nuestra sede en Montevideo. Nos gustaría formar un equipo de trabajo como lo hemos hecho en Argentina para cubrir todos los temas que desarrollamos en este sitio. En caso de que te interese la posibilidad de participar, contactá con nosotros: virtualoyd@hotmail.com
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